Die Lagemaße einer Verteilung können
nur dann sinnvoll interpretiert werden, wenn eine Vorstellung von
der Variabilität (Streuung) der Beobachtungen innerhalb
der Stichprobe besteht. Wenn beispielsweise der Altersdurchschnitt
einer Gruppe von Patienten 35 Jahre beträgt, ist es für
Vergleichszwecke - und damit für eine adäquate
Interpretation - wichtig zu wissen, ob es sich hierbei
ausschließlich um Patienten in einem Alter zwischen 32
und 37 Jahren handelt, oder ob sich auch 20-jährige oder
gar Kinder bzw. 60-jährige oder Greise in der Stichprobe
befinden.
Das einfachste Streuungsmaß ist der Abstand zwischen
dem größten und kleinsten Wert der Stichprobe,
auch als Spannweite oder Range bezeichnet. Ein großer Nachteil
dieses sehr einfachen und zunächst vernünftig
erscheinenden Variabilitätsmaßes ist, dass es
vom Stichprobenumfang abhängig ist, eine sehr ungünstige
Eigenschaft, die den Nutzen sehr stark einschränkt [3].
Ein anderes Streuungsmaß, der Interquartilsabstand,
das heißt die Differenz von 75 %- und
25 %-Quantil (die »box« aus dem
Box-and-Whisker Plot), hat nicht diesen Nachteil und lässt
sich anschaulich interpretieren: Zwischen dem 75 %-
und dem 25 %-Quantil liegt die Hälfte
der beobachteten Werte [2].
Sehr häufig wird zur Beschreibung der Variabilität
innerhalb einer Stichprobe die Varianz bzw. die Standardabweichung benutzt.
Hierbei wird zunächst von der Differenz jedes einzelnen
Beobachtungswertes vom Mittelwert ausgegangen. Da sich positive
und negative Abweichungen bei diesem Vorgehen gegenseitig aufheben
(der Mittelwert besitzt gerade die Eigenschaft, dass die Summe der
Abweichungsdifferenzen Null ergibt), werden die Differenzen quadriert,
anschließend aufsummiert, und diese Summe schließlich
durch den um eins verminderten Stichprobenumfang (n-1) dividiert.
Diese mittlere quadratische Abweichung wird als empirische Varianz
bezeichnet.
Warum wird bei der Berechnung der empirischen Varianz die Summe
der Abweichungsquadrate durch n-1 und nicht durch n - was
ja zunächst viel einleuchtender erscheint - geteilt? Im
Allgemeinen ist es das Ziel, von einer Stichprobe Schlussfolgerungen
auf eine (zumeist fiktive) »Grundgesamtheit« zu ziehen.
Das heißt, mit dem Mittelwert und der empirischen Varianz
aus der Stichprobe sollen der Erwartungswert und die Varianz der
Grundgesamtheit geschätzt werden. Es lässt sich
zeigen, dass mit der Division durch n-1 eine bessere Schätzung
für die Varianz der Grundgesamtheit erzielt werden kann
als mit der Division durch n.
Da die Varianz aufgrund der Quadrierung eine andere Dimension
als der Mittelwert hat, wird im Zusammenhang mit dem Mittelwert
in der Regel die Standardabweichung angegeben, die sich als Wurzel
aus der Varianz berechnet. Daten für quantitative Merkmale
aus medizinischen Untersuchungen werden gerne als Mittelwert ± Standardabweichung,
häufig auch in Form einer Graphik, ausgewiesen. Dies rührt
vermutlich daher, dass für den Fall einer bestimmten theoretischen Verteilung,
nämlich der Normalverteilung, sich etwa zwei Drittel aller
Werte in einem solchen Bereich befinden.
Für eine Beschreibung von Daten ist dies aber nicht
immer sinnvoll: Einerseits wird durch die Abtragung der Standardabweichung
zu beiden Seiten des Mittelwertes eine Symme-trie suggeriert, die
oft nicht besteht [1], andererseits existiert mit
dem Box-and-Whisker Plot eine Darstellungsmöglichkeit mit
mehr Information [5].
Problematischer ist es allerdings, anstelle der Standardabweichung
den Standardfehler des Mittelwertes (»standard error of
the mean«, SEM) zu verwenden. Der SEM beschreibt die Variabilität
von Mittelwerten aus Stichproben mit dem gleichen Stichprobenumfang
(n) und ist ein Maß für die Präzision
der Schätzung des Erwartungswertes durch den Mittelwert [4]. Er berechnet sich aus der Standardabweichung
nach Division durch die Wurzel aus n. Somit ist der SEM immer kleiner
als die Standardabweichung, was vermutlich zu seiner »Beliebtheit« beiträgt.
Er hat eine große Bedeutung bei der schließenden
Statistik, lässt aber für die Beschreibung von
Daten aus einer Stichprobe - im Gegensatz zu den Quantilen
oder der Standardabweichung - keine unmittelbare Interpretation
zu.
[Tab. 1] zeigt
die englischsprachigen Übersetzungen der hier besprochenen
Begriffe.
Tab. 1 Übersetzungen
(deutsch - englisch)
|
Spannweite
|
range
|
|
Standardabweichung
|
standard deviation
|
|
Varianz
|
variance
|
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Standardfehler des Mittelwertes
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standard error of the mean
|
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Variabilitätsmaß
|
measure of variability
|
|
Spannweite
|
range
|
|
Interquartilsabstand
|
interquartile range
|
|
Summe der Abweichungsquadrate
|
sum of squares
|
kurzgefasst: Die
sinnvolle Beschreibung von Daten erfordert neben der Angabe von
zentralen Lagemaßen (Mittelwert, Median) auch noch die
Darstellung von Variabilitätsmaßen (Standardabweichung,
Interquartilsabstand). Va-riabilitätsmaße vermitteln eine
Vorstellung davon, wie stark die einzelnen Werte um die zentralen
Lagemaße streuen, das heißt, wie repräsentativ
die zentralen Lagemaße für die Stichprobe (bzw.
Grundgesamtheit) sind.
