Die Lagemaße einer Verteilung können nur dann sinnvoll interpretiert werden, wenn eine Vorstellung von der Variabilität (Streuung) der Beobachtungen innerhalb der Stichprobe besteht. Wenn beispielsweise der Altersdurchschnitt einer Gruppe von Patienten 35 Jahre beträgt, ist es für Vergleichszwecke - und damit für eine adäquate Interpretation - wichtig zu wissen, ob es sich hierbei ausschließlich um Patienten in einem Alter zwischen 32 und 37 Jahren handelt, oder ob sich auch 20-jährige oder gar Kinder bzw. 60-jährige oder Greise in der Stichprobe befinden.
Das einfachste Streuungsmaß ist der Abstand zwischen dem größten und kleinsten Wert der Stichprobe, auch als Spannweite oder Range bezeichnet. Ein großer Nachteil dieses sehr einfachen und zunächst vernünftig erscheinenden Variabilitätsmaßes ist, dass die Spannweite auf den beiden Extremwerten basiert, die untypische Werte einnehmen können [2].
Ein anderes Streuungsmaß, der Interquartilsabstand, das heißt die Differenz von 75 %- und 25 %-Quantil (die „box” aus dem Box-and-Whisker- Plot), hat nicht diesen Nachteil und lässt sich anschaulich interpretieren: Zwischen dem 75 %- und dem 25 %-Quantil liegt die Hälfte der beobachteten Werte [1].
Sehr häufig wird zur Beschreibung der Variabilität innerhalb einer Stichprobe die Varianz bzw. die Standardabweichung benutzt. Hierbei wird zunächst von der Differenz jedes einzelnen Beobachtungswertes vom Mittelwert ausgegangen. Da sich positive und negative Abweichungen bei diesem Vorgehen gegenseitig aufheben (der Mittelwert besitzt gerade die Eigenschaft, dass die Summe der Abweichungsdifferenzen Null ergibt), werden die Differenzen quadriert, anschließend aufsummiert, und diese Summe schließlich durch den um eins verminderten Stichprobenumfang (n-1) dividiert. Diese mittlere quadratische Abweichung wird als empirische Varianz bezeichnet.
Warum wird bei der Berechnung der empirischen Varianz die Summe der Abweichungsquadrate durch n-1 und nicht durch n - was ja zunächst viel einleuchtender erscheint - geteilt? Im Allgemeinen ist es das Ziel, von einer Stichprobe Schlussfolgerungen auf eine (zumeist fiktive) „Grundgesamtheit” zu ziehen. Das heißt, mit dem Mittelwert und der empirischen Varianz aus der Stichprobe sollen der Erwartungswert und die Varianz der Grundgesamtheit geschätzt werden. Es lässt sich zeigen, dass mit der Division durch n-1 eine bessere Schätzung für die Varianz der Grundgesamtheit erzielt werden kann als mit der Division durch n.
Da die Varianz aufgrund der Quadrierung eine andere Dimension als der Mittelwert hat, wird im Zusammenhang mit dem Mittelwert in der Regel die Standardabweichung angegeben, die sich als Wurzel aus der Varianz berechnet. Daten für quantitative Merkmale aus medizinischen Untersuchungen werden gerne als Mittelwert ± Standardabweichung, häufig auch in Form einer Grafik, ausgewiesen. Dies rührt vermutlich daher, dass für den Fall einer bestimmten theoretischen Verteilung, nämlich der Normalverteilung, sich etwa zwei Drittel aller Werte in einem solchen Bereich befinden.
Für eine Beschreibung von Daten ist dies aber nicht immer sinnvoll: Einerseits wird durch die Abtragung der Standardabweichung zu beiden Seiten des Mittelwertes eine Symmetrie suggeriert, die oft nicht besteht [3], andererseits existiert mit dem Box-and-Whisker-Plot eine Darstellungsmöglichkeit mit mehr Information [5].
Problematischer ist es allerdings, anstelle der Standardabweichung den Standardfehler des Mittelwertes („standard error of the mean”, SEM) zu verwenden. Der SEM beschreibt die Variabilität von Mittelwerten aus Stichproben mit dem gleichen Stichprobenumfang (n) und ist ein Maß für die Präzision der Schätzung des Erwartungswertes durch den Mittelwert [4]. Er berechnet sich aus der Standardabweichung nach Division durch die Wurzel aus n. Somit ist der SEM immer kleiner als die Standardabweichung, was vermutlich zu seiner „Beliebtheit” beiträgt. Er hat eine große Bedeutung bei der schließenden Statistik, lässt aber für die Beschreibung von Daten aus einer Stichprobe - im Gegensatz zu den Quantilen oder der Standardabweichung - keine unmittelbare Interpretation zu.
kurzgefasst
Die sinnvolle Beschreibung von Daten erfordert neben der Angabe von zentralen Lagemaßen (Mittelwert, Median) auch noch die Darstellung von Variabilitätsmaßen (Standardabweichung, Interquartilsabstand). Variabilitätsmaße vermitteln eine Vorstellung davon, wie stark die einzelnen Werte um die zentralen Lagemaße streuen, das heißt, wie repräsentativ die zentralen Lagemaße für die Stich-probe (bzw. Grundgesamtheit) sind.
Tab. [1] zeigt die englischsprachigen Übersetzungen der hier besprochenen Begriffe.
Tab. 1 Übersetzungen (deutsch - englisch)
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Spannweite
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range
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Standardabweichung
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standard deviation
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Varianz
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variance
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Standardfehler des Mittelwertes
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standard error of the mean
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Variabilitätsmaß
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measure of variability
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Spannweite
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range
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Interquartilsabstand
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interquartile range
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Summe der Abweichungsquadrate
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sum of squares
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Dieser Beitrag ist eine überarbeitete Fassung aus dem Supplement Statistik aus dem Jahr 2001.
